Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Эта последовательность имеет множество интересных свойств и применяется в различных областях математики и науки.

Формально, если a — это первое число прогрессии, а q — знаменатель, то n-е число прогрессии можно выразить следующим образом:

an = a * qn-1

Геометрическая прогрессия может быть либо возрастающей, если q > 1, либо убывающей, если 0 < q < 1. Если q = 1, все числа в последовательности равны первому числу a.

Пример геометрической прогрессии:

  • Если a = 2 и q = 3, то последовательность будет: 2, 6, 18, 54, …
  • Если a = 5 и q = 0.5, то последовательность будет: 5, 2.5, 1.25, 0.625, …

Сумма членов геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

Sn = a * (1 — qn) / (1 — q), если q ≠ 1.

Если q = 1, то сумма будет:

Sn = n * a.

Примеры расчета суммы:

  • Для прогрессии 2, 6, 18, 54 (где a = 2 и q = 3):
    • Сумма первых 3-х членов: S3 = 2 * (1 — 33</sup}) / (1 — 3) = 2 * (1 — 27) / (-2) = 26.
  • Для прогрессии 5, 2.5, 1.25 (где a = 5 и q = 0.5):
    • Сумма первых 4-х членов: S4 = 5 * (1 — 0.54) / (1 — 0.5) = 5 * (1 — 0.0625) / 0.5 = 5 * 0.9375 / 0.5 = 9.375.

Применение геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия находит применение в различных областях, таких как:

  • Финансовые расчеты: Для определения роста инвестиций или долгов.
  • Физика: В моделировании процессов, связанных с радиоактивным распадом.
  • Информатика: Для анализа алгоритмов, которые имеют экспоненциальный рост.
  • Экономика: Для прогнозирования роста населения и ресурсов.
  • Статистика: В случаях, когда данные следуют экспоненциальному закону.

Заключение

Геометрическая прогрессия является важным понятием в математике, которое помогает описать и анализировать различные явления в природе и технике. Понимание ее свойств и применения позволяет лучше ориентироваться в сложных задачах, связанных с ростом и изменением чисел.