Геометрические преобразования — это операции, которые изменяют положение, размер или форму фигур на плоскости. Для их решения используются формулы, которые помогают выполнять такие преобразования, как перенос, оборот, отражение и растяжение.
В этой статье мы рассмотрим, как использовать формулы для решения задач на геометрические преобразования.
Типы геометрических преобразований
Существует несколько основных типов геометрических преобразований:
- Перенос — изменение положения фигуры без изменения её формы и размера.
- Отражение — изменение ориентации фигуры относительно заданной оси.
- Оборот — вращение фигуры вокруг заданной точки на определенный угол.
- Растяжение — изменение размера фигуры в определенном направлении.
Формулы для геометрических преобразований
1. Перенос
Для переноса фигуры на плоскости используется следующая формула. Если точка A(x, y) перемещается на (dx, dy), то новая позиция точки A’ будет:
A'(x’, y’) = (x + dx, y + dy)
Например, если точка A(2, 3) переносится на (3, 4), то новая координата будет:
A'(2 + 3, 3 + 4) = A'(5, 7)
2. Отражение
Отражение относительно оси x можно выразить формулой:
A'(x’, y’) = (x, -y)
А отражение относительно оси y дается формулой:
A'(x’, y’) = (-x, y)
Если точка A(3, 4) отражается относительно оси x, то ее новая позиция будет:
A'(3, -4)
3. Оборот
Для вращения точки A(x, y) на угол θ вокруг начала координат применяется следующая формула:
A'(x’, y’) = (x * cos(θ) — y * sin(θ), x * sin(θ) + y * cos(θ))
Например, при вращении точки A(1, 0) на 90 градусов (или π/2 радиан), мы имеем:
A'(1 * 0 — 0 * 1, 1 * 1 + 0 * 0) = A'(0, 1)
4. Растяжение
Растяжение фигуры можно выразить следующим образом:
A'(x’, y’) = (k * x, m * y)
где k и m — коэффициенты растяжения по осям x и y соответственно. Например, если точка A(2, 3) проходит растяжение с коэффициентами k = 2 и m = 3, то:
A'(2 * 2, 3 * 3) = A'(4, 9)
Примеры задач
Теперь давайте рассмотрим несколько примеров задач, связанных с геометрическими преобразованиями.
Задача 1
Дана точка A(1, 2). Найдите координаты точки A’, если она переносится на (3, 4).
Решение:
- Координаты точки A’ будут:
- A'(1 + 3, 2 + 4) = A'(4, 6)
Задача 2
Дана точка B(3, 5). Найдите координаты точки B’, если она отражается относительно оси y.
Решение:
- Координаты точки B’ будут:
- B'(-3, 5)
Задача 3
Дана точка C(4, 3). Найдите координаты точки C’, если она вращается на 90 градусов вокруг начала координат.
Решение:
- Координаты точки C’ будут:
- C'(0, 4)
Задача 4
Дана точка D(2, 1). Найдите координаты точки D’, если она проходит растяжение с коэффициентами k = 3 и m = 2.
Решение:
- Координаты точки D’ будут:
- D'(3 * 2, 2 * 1) = D'(6, 2)
Заключение
Геометрические преобразования являются важной частью математического анализа и геометрии. Используя формулы, представленные в этой статье, можно легко выполнять различные преобразования фигур на плоскости. Понимание этих принципов поможет вам решать более сложные задачи и лучше осознавать, как фигуры взаимодействуют в пространстве.