Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, где каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же фиксированное число, называемое общим множителем. Например, последовательность 2, 6, 18, 54 является геометрической прогрессией с общим множителем 3.

Чтобы найти сумму первых n членов геометрической прогрессии, существует специальная формула, которая зависит от значения общего множителя q. Рассмотрим два случая:

• Если |q| < 1: Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
• S_n = a * (1 — q^n) / (1 — q), где:
• S_n – сумма первых n членов;
• a – первый член прогрессии;
• q – общий множитель;
• n – количество членов, которые мы хотим просуммировать.
• Если |q| > 1: В этом случае сумма первых n членов может быть найдена по формуле:
• S_n = a * (q^n — 1) / (q — 1).

Теперь давайте рассмотрим пример, чтобы понять, как это работает.

Предположим, у нас есть геометрическая прогрессия с первым членом a = 3 и общим множителем q = 2. Мы хотим найти сумму первых 5 членов этой прогрессии.

Сначала запишем члены прогрессии:

• 1-й член: a = 3;
• 2-й член: a * q = 3 * 2 = 6;
• 3-й член: a * q^2 = 3 * 2^2 = 12;
• 4-й член: a * q^3 = 3 * 2^3 = 24;
• 5-й член: a * q^4 = 3 * 2^4 = 48;

Теперь у нас есть 5 членов: 3, 6, 12, 24, 48. Теперь давайте найдем сумму:

• S_5 = 3 * (2^5 — 1) / (2 — 1)
• S_5 = 3 * (32 — 1) / 1 = 3 * 31 = 93.

Таким образом, сумма первых 5 членов этой геометрической прогрессии равна 93.

Важно отметить, что формулы могут быть адаптированы в зависимости от того, сколько членов вы хотите просуммировать и каков общий множитель. В случае, если общий множитель равен 1, сумма будет равна просто a * n, где n – количество членов.

Теперь, когда вы знаете, как находить сумму геометрической прогрессии, вы можете применять эти знания в различных математических задачах, включая финансовые расчеты, вычисление процентов и в других областях.