Чтобы найти уравнение окружности, необходимо понимать основные характеристики окружности и её связь с координатной плоскостью.

Окружность — это множество всех точек, которые находятся на равном расстоянии (радиусе) от заданной точки (центра окружности).

Уравнение окружности в стандартной форме записывается как:

(x — a)² + (y — b)² = r²

Где:

  • (a, b) — координаты центра окружности;
  • r — радиус окружности;
  • (x, y) — координаты точки на окружности.

Теперь давайте разберёмся, как получить это уравнение, зная центр и радиус окружности.

1. Задание центра окружности

Для начала определите координаты центра окружности (a, b). Например, пусть центр окружности находится в точке (3, 2).

2. Определение радиуса окружности

Затем вам нужно определить радиус окружности (r). Радиус — это расстояние от центра окружности до любой точки на её границе. Допустим, радиус равен 5.

3. Подстановка значений в уравнение

Теперь подставим значения в стандартное уравнение окружности:

(x — 3)² + (y — 2)² = 5²

Упрощая, получаем:

(x — 3)² + (y — 2)² = 25

4. Пример окружности

Таким образом, уравнение окружности с центром в точке (3, 2) и радиусом 5 записывается как (x — 3)² + (y — 2)² = 25. Это уравнение описывает все точки, которые находятся на расстоянии 5 от центра (3, 2).

5. Преобразование уравнения окружности

Уравнение окружности также может быть записано в расширенной форме, которая выглядит следующим образом:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Чтобы преобразовать стандартное уравнение в расширенную форму, необходимо разложить скобки:

  • (x — a)² = x² — 2ax + a²
  • (y — b)² = y² — 2by + b²

Подставив это в уравнение окружности, получаем:

x² — 2ax + a² + y² — 2by + b² — r² = 0

Таким образом, D = -2a, E = -2b, F = a² + b² — r².

6. Пример преобразования

Возьмем наш пример с центром (3, 2) и радиусом 5:

  • D = -2 * 3 = -6
  • E = -2 * 2 = -4
  • F = 3² + 2² — 5² = 9 + 4 — 25 = -12

Следовательно, уравнение окружности в расширенной форме:

x² + y² — 6x — 4y — 12 = 0

7. Заключение

Теперь вы знаете, как получить уравнение окружности в стандартной и расширенной формах. Эти методы помогут вам в дальнейшем решении задач, связанных с окружностями в координатной плоскости.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!