Вычисление угла между двумя векторами – это важная задача в линейной алгебре, физике и инженерии. Угол между векторами можно найти, используя скалярное произведение и нормы векторов. Рассмотрим, как это сделать шаг за шагом.
1. Определение векторов
Пусть у нас есть два вектора A и B, определенные как:
- A = (A1, A2, A3) – вектор A в трехмерном пространстве;
- B = (B1, B2, B3) – вектор B в трехмерном пространстве.
2. Вычисление скалярного произведения
Скалярное произведение (или дот-продукт) двух векторов A и B вычисляется по формуле:
A • B = A1 * B1 + A2 * B2 + A3 * B3
3. Вычисление норм векторов
Норма (или длина) вектора A определяется как:
|A| = √(A1² + A2² + A3²)
Аналогично, норма вектора B:
|B| = √(B1² + B2² + B3²)
4. Формула для угла
Угол θ между векторами A и B можно найти, используя следующую формулу:
cos(θ) = (A • B) / (|A| * |B|)
Теперь, чтобы найти угол θ, мы можем использовать арккосинус:
θ = arccos((A • B) / (|A| * |B|))
5. Пример
Рассмотрим пример с конкретными векторами:
- A = (1, 2, 3)
- B = (4, 5, 6)
Сначала вычислим скалярное произведение:
A • B = 1*4 + 2*5 + 3*6 = 4 + 10 + 18 = 32
Теперь найдем нормы векторов:
|A| = √(1² + 2² + 3²) = √(1 + 4 + 9) = √14
|B| = √(4² + 5² + 6²) = √(16 + 25 + 36) = √77
Теперь подставим значения в формулу для cos(θ):
cos(θ) = 32 / (√14 * √77)
Для нахождения угла θ используем арккосинус:
θ = arccos(32 / (√14 * √77))
6. Заключение
В результате мы получили угол между векторами A и B. Это значение можно использовать в различных приложениях, таких как компьютерная графика, физические расчеты и математический анализ.