Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается путем добавления постоянного числа, называемого разностью, к предыдущему числу.

Обозначим первый член прогрессии как a1, второй член как a2, третий — a3, и так далее. Тогда, если d — это разность, то:

  • a2 = a1 + d
  • a3 = a2 + d = a1 + 2d
  • an = a1 + (n — 1)d — общий член прогрессии

Таким образом, n-й член арифметической прогрессии можно выразить через первый член и разность. Если n — это номер члена, то формула для n-го члена выглядит следующим образом:

an = a1 + (n — 1)d

Где:

  • a1 — первый член прогрессии
  • d — разность
  • n — номер члена прогрессии

Например, если первый член a1 = 2 и разность d = 3, то последовательность будет выглядеть так:

  • a1 = 2
  • a2 = 2 + 3 = 5
  • a3 = 5 + 3 = 8
  • a4 = 8 + 3 = 11
  • a5 = 11 + 3 = 14

Таким образом, получаем последовательность: 2, 5, 8, 11, 14, …

Теперь рассмотрим сумму n первых членов арифметической прогрессии. Сумма первых n членов Sn вычисляется по формуле:

Sn = (n/2) * (a1 + an)

Можно также выразить эту формулу через первый член и разность:

Sn = (n/2) * (2a1 + (n — 1)d)

Где:

  • Sn — сумма первых n членов
  • a1 — первый член
  • an — n-й член
  • d — разность
  • n — количество членов

Например, если у нас есть арифметическая прогрессия с первым членом a1 = 2 и разностью d = 3, и мы хотим найти сумму первых 5 членов, мы можем использовать формулу:

Первый член a1 = 2, пятый член:

a5 = a1 + (5 — 1) * d = 2 + 4 * 3 = 14

Теперь подставим в формулу для суммы:

S5 = (5/2) * (2 + 14) = (5/2) * 16 = 5 * 8 = 40

Таким образом, сумма первых 5 членов нашей арифметической прогрессии составляет 40.

Арифметические прогрессии имеют множество применений в различных областях, таких как математика, физика, экономика и инженерия. Например, они могут использоваться для моделирования линейных зависимостей, расчета стоимости, планирования и оптимизации.

Ключевые свойства арифметической прогрессии:

  • Разность постоянна для всех членов.

    • <liСумма первых n членов может быть найдена с помощью вышеуказанных формул.

  • Графически арифметическая прогрессия представляется как прямая линия на координатной плоскости.

В заключение, арифметическая прогрессия — это важная математическая концепция, которая находит широкое применение в теории чисел и практической математике.