Теорема Виета – это важный результат в алгебре, который устанавливает взаимосвязь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями. В частности, теорема относится к квадратным уравнениям вида:

ax² + bx + c = 0, где a, b и c – это коэффициенты, а a ≠ 0.

Согласно теореме Виета, если у нас есть два корня x₁ и x₂ для данного квадратного уравнения, то можно записать следующие соотношения:

  • x₁ + x₂ = -b/a – сумма корней;
  • x₁ * x₂ = c/a – произведение корней.

Эти соотношения позволяют легко находить корни квадратного уравнения, зная его коэффициенты, и наоборот, определять коэффициенты, если известны корни.

Пример использования теоремы Виета

Рассмотрим квадратное уравнение:

2x² — 8x + 6 = 0.

Здесь a = 2, b = -8, c = 6. Найдем корни этого уравнения, используя дискриминант:

D = b² — 4ac = (-8)² — 4 * 2 * 6 = 64 — 48 = 16.

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:

x₁ = (8 + √D) / (2a) = (8 + 4) / 4 = 3,

x₂ = (8 — √D) / (2a) = (8 — 4) / 4 = 1.

Теперь проверим соотношения теоремы Виета:

  • x₁ + x₂ = 3 + 1 = 4, что соответствует -b/a = -(-8)/2 = 4;
  • x₁ * x₂ = 3 * 1 = 3, что соответствует c/a = 6/2 = 3.

Таким образом, теорема Виета работает в этом случае.

Обобщение теоремы Виета

Теорема Виета также может быть обобщена на полиномиальные уравнения более высокой степени. Если у нас есть полином степени n:

a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + … + aₙ = 0,

где a₀ ≠ 0, то соотношения для корней x₁, x₂, …, xₙ будут выглядеть следующим образом:

  • x₁ + x₂ + … + xₙ = -a₁/a₀;
  • x₁x₂ + x₁x₃ + … + xₙ₋₁xₙ = a₂/a₀;
  • и так далее, вплоть до последнего соотношения:
  • x₁x₂…xₙ = (-1)ⁿ * aₙ/a₀.

Это обобщение позволяет применять теорему Виета для анализа корней любого полинома, что делает ее мощным инструментом в алгебре и математическом анализе.

Заключение

Теорема Виета является основополагающим элементом в изучении квадратных и полиномиальных уравнений. Она не только позволяет находить корни уравнений, но и предоставляет глубокое понимание связи между коэффициентами и корнями. Это знание широко используется в различных областях математики, включая алгебру, геометрию и математический анализ.