Свойства степеней являются важным инструментом в алгебре, позволяя упрощать выражения и решать уравнения. В этом ответе мы рассмотрим основные свойства степеней и приведем примеры их использования для упрощения различных математических выражений.

Свойство 1: Произведение степеней с одинаковыми основаниями

Если у нас есть два числа с одинаковыми основаниями, то мы можем умножить их степени, сложив показатели:

a^m * aⁿ = a^m+n

Например:

• a³ * a⁵ = a³⁺⁵ = a⁸
• 2² * 2³ = 2²⁺³ = 2⁵

Свойство 2: Частное степеней с одинаковыми основаниями

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, мы вычитаем показатели:

a^m / aⁿ = a^m-n

Примеры:

• a⁷ / a² = a^7-2 = a⁵
• 5⁴ / 5² = 5^4-2 = 5²

Свойство 3: Степень степени

Если у нас есть степень, возведенная в другую степень, то мы умножаем показатели:

(a^m)ⁿ = a^m*n

Например:

• (x³)² = x^3*2 = x⁶
• (2²)³ = 2^2*3 = 2⁶

Свойство 4: Степень с нулевым показателем

Любое число, кроме нуля, возведенное в степень 0, равно 1:

a⁰ = 1 (где a ≠ 0)

Примеры:

• 7⁰ = 1
• (-5)⁰ = 1

Свойство 5: Степень с отрицательным показателем

Отрицательный показатель степени означает, что мы берём обратную величину:

a^-n = 1 / aⁿ

Примеры:

• x^-2 = 1 / x²
• 3^-1 = 1 / 3

Свойство 6: Умножение степеней с разными основаниями

Когда мы умножаем степени с разными основаниями, но с одинаковыми показателями, мы можем умножить основания и оставить показатель:

a<sup{n} * b<sup{n} = (a * b)<sup{n}

Примеры:

• 2³ * 3³ = (2 * 3)³ = 6³
• (x * y)² = x² * y²

Теперь, когда мы знаем основные свойства степеней, давайте рассмотрим, как они могут помочь нам упрощать более сложные выражения.

Пример 1: Упрощение выражения

Рассмотрим выражение:

2³ * 2^-1

По свойству 1:

2³ * 2^-1 = 2^{3 + (-1)} = 2² = 4

Пример 2: Упрощение выражения с делением

Рассмотрим выражение:

3⁵ / 3²

По свойству 2:

3⁵ / 3² = 3^5-2 = 3³ = 27

Пример 3: Упрощение выражения со степенью степени

Рассмотрим выражение:

(x²)⁴

По свойству 3:

(x²)⁴ = x^2*4 = x⁸

Используя эти свойства, мы можем упрощать сложные выражения, делая вычисления более простыми и понятными. Важно помнить, что правильное использование свойств степеней значительно облегчает работу с алгебраическими выражениями.

Надеюсь, данный обзор помог вам лучше понять, как упрощать выражения с помощью свойств степеней!