Построение графика квадратичной функции — это важная задача в математике, которая помогает понять свойства параболы. Квадратичная функция имеет общий вид:

f(x) = ax² + bx + c,

где:

• a — коэффициент при x²,
• b — коэффициент при x,
• c — свободный член.

Для построения графика квадратичной функции следует выполнить несколько шагов:

1. Определение параметров функции

Первым шагом является определение значений коэффициентов a, b и c. Эти значения определяют форму и положение параболы на координатной плоскости.

2. Нахождение вершины параболы

Вершина параболы — это важная точка, которая определяет её максимумы и минимумы. Координаты вершины можно найти по следующим формулам:

• x-координата вершины: x_v = -b / (2a),
• y-координата вершины: y_v = f(x_v).

Таким образом, вершина функции f(x) будет находиться в точке (x_v, y_v).

3. Определение оси симметрии

Ось симметрии параболы проходит через вершину и имеет уравнение:

x = x_v.

Это означает, что график функции будет симметричен относительно этой вертикальной линии.

4. Построение дополнительных точек

Для более точного графика необходимо построить несколько дополнительных точек. Для этого можно выбрать значения x (например, x_v — 2, x_v — 1, x_v + 1, x_v + 2) и вычислить соответствующие значения f(x).

• Например, если a = 1, b = 0, c = 0, то:
• f(-2) = 4,
• f(-1) = 1,
• f(0) = 0,
• f(1) = 1,
• f(2) = 4.

5. Нанесение точек на координатную плоскость

После того как вы вычислили значения функции для нескольких точек, их можно нанести на координатную плоскость. Это поможет визуально представить, как выглядит график функции. Не забудьте отметить вершину и ось симметрии.

6. Проведение графика

Теперь, когда у вас есть несколько точек, можно аккуратно провести кривую, соединяющую их. График квадратичной функции всегда будет иметь форму параболы, которая открывается вверх (если a > 0) или вниз (если a < 0).

7. Пример построения графика

Рассмотрим пример функции:

f(x) = 2x² — 4x + 1.

• Коэффициенты: a = 2, b = -4, c = 1.
• Вершина:
• x_v = -(-4) / (2 * 2) = 1,
• y_v = f(1) = 2(1)² — 4(1) + 1 = -1.
• Ось симметрии: x = 1.
• Дополнительные точки:
• f(0) = 1,
• f(2) = 1,
• f(-1) = 7,
• f(3) = 7.

Теперь у нас есть точки: (0, 1), (1, -1), (2, 1), (-1, 7), (3, 7). Наносим их на координатную плоскость и проводим параболу, которая будет открываться вверх.

8. Заключение

Построение графика квадратичной функции — это не только важный математический навык, но и полезное умение, которое находит применение в различных областях, таких как физика, экономика и инженерия. Понимание свойств параболы поможет вам лучше ориентироваться в математике и решать более сложные задачи.