Стандартное отклонение — это мера того, насколько значения в наборе данных отклоняются от среднего значения. Оно помогает понять, насколько разбросаны данные и насколько они близки к среднему. В этой статье мы подробно рассмотрим, как вычислить стандартное отклонение чисел.

Существует два основных типа стандартного отклонения:

  • Выборочное стандартное отклонение — используется, когда данные представляют собой выборку из большей популяции.
  • Полное стандартное отклонение — используется, когда данные представляют собой всю популяцию.

Мы начнем с определения формулы для вычисления стандартного отклонения.

Формула стандартного отклонения

Стандартное отклонение обозначается символом σ (сигма) для полной популяции и s для выборки. Формулы для вычисления стандартного отклонения выглядят следующим образом:

  • Для полной популяции:
    • σ = √(Σ(xi — μ)² / N)
  • Для выборки:
    • s = √(Σ(xi — x̄)² / (n — 1))

Где:

  • σ — стандартное отклонение для популяции;
  • s — стандартное отклонение для выборки;
  • Σ — символ суммы;
  • xi — каждое значение в наборе данных;
  • μ — среднее значение для популяции;
  • x̄ — среднее значение для выборки;
  • N — количество значений в популяции;
  • n — количество значений в выборке.

Шаги для вычисления стандартного отклонения

Теперь давайте подробно рассмотрим шаги, которые необходимо выполнить для вычисления стандартного отклонения:

  1. Соберите данные. Убедитесь, что у вас есть все необходимые значения для анализа.
  2. Вычислите среднее значение. Сложите все значения и разделите на количество значений:
    • μ = Σxi / N (для популяции)
    • x̄ = Σxi / n (для выборки)
  3. Вычислите отклонения от среднего. Вычтите среднее значение из каждого значения:
    • xi — μ (для популяции)
    • xi — x̄ (для выборки)
  4. Квадрат отклонений. Возведите каждое отклонение в квадрат:
    • (xi — μ)² (для популяции)
    • (xi — x̄)² (для выборки)
  5. Сложите квадрат отклонений. Найдите сумму квадратов отклонений:
    • Σ(xi — μ)² (для популяции)
    • Σ(xi — x̄)² (для выборки)
  6. Разделите на количество значений. Для популяции разделите на N, а для выборки — на (n — 1):
    • Σ(xi — μ)² / N (для популяции)
    • Σ(xi — x̄)² / (n — 1) (для выборки)
  7. Вычислите квадратный корень. Извлеките квадратный корень из результата:
    • σ = √(Σ(xi — μ)² / N) (для популяции)
    • s = √(Σ(xi — x̄)² / (n — 1)) (для выборки)

Пример вычисления стандартного отклонения

Рассмотрим пример. Допустим, у нас есть следующие значения: 4, 8, 6, 5, 3. Давайте вычислим стандартное отклонение для этих чисел.

Шаг 1: Находим среднее значение:

  • μ = (4 + 8 + 6 + 5 + 3) / 5 = 26 / 5 = 5.2

Шаг 2: Находим отклонения от среднего:

  • 4 — 5.2 = -1.2
  • 8 — 5.2 = 2.8
  • 6 — 5.2 = 0.8
  • 5 — 5.2 = -0.2
  • 3 — 5.2 = -2.2

Шаг 3: Квадраты отклонений:

  • (-1.2)² = 1.44
  • (2.8)² = 7.84
  • (0.8)² = 0.64
  • (-0.2)² = 0.04
  • (-2.2)² = 4.84

Шаг 4: Сумма квадратов:

  • Σ(xi — μ)² = 1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84 = 14.8

Шаг 5: Разделение на количество значений:

  • 14.8 / (5 — 1) = 14.8 / 4 = 3.7

Шаг 6: Извлечение квадратного корня:

  • s = √3.7 ≈ 1.92

Таким образом, выборочное стандартное отклонение для данного набора данных составляет приблизительно 1.92.

Заключение

Стандартное отклонение — это важный инструмент в статистике, который помогает понять разброс данных. Мы рассмотрели, как его вычислять и привели пример для лучшего понимания. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другими статистическими расчетами, не стесняйтесь обращаться!