Чтобы вычислить уравнение касательной к кривой, необходимо следовать нескольким шагам. Рассмотрим процесс на примере функции f(x), которая задает нашу кривую.

Шаг 1: Найти производную функции

Первый шаг в вычислении уравнения касательной – это нахождение производной функции f(x). Производная в точке x_0 даст нам угловой коэффициент касательной линии:

f'(x) = lim (h -> 0) [f(x_0 + h) — f(x_0)] / h

После нахождения производной, подставьте в нее значение x_0, чтобы получить угловой коэффициент касательной:

m = f'(x_0)

Шаг 2: Найти значение функции в точке

Следующий шаг – это вычисление значения функции в точке x_0:

y_0 = f(x_0)

Шаг 3: Использовать уравнение касательной

Теперь, когда у нас есть угловой коэффициент m и координаты точки касания (x_0, y_0), мы можем использовать уравнение касательной. Уравнение имеет вид:

y — y_0 = m(x — x_0)

Приведем это уравнение к более привычному виду:

y = mx — mx_0 + y_0

или

y = mx + (y_0 — mx_0)

Пример

Рассмотрим функцию f(x) = x^2. Мы хотим найти уравнение касательной в точке (1, f(1)).

• Шаг 1: Найдем производную функции:

f'(x) = 2x

Теперь подставим x_0 = 1: f'(1) = 2 * 1 = 2.

• Шаг 2: Найдем значение функции:

y_0 = f(1) = 1^2 = 1.

• Шаг 3: Подставим в уравнение касательной:

y — 1 = 2(x — 1)

Упрощаем:

y — 1 = 2x — 2

y = 2x — 1

Таким образом, уравнение касательной к кривой y = x^2 в точке (1, 1) равно y = 2x — 1.

Заключение

Вычисление уравнения касательной – это важный навык в математике, особенно в анализе функций. Используя производные и уравнение прямой, вы можете легко находить касательные к любой кривой в заданной точке. Это полезно не только в теоретической математике, но и в практических приложениях, таких как физика и инженерия.